Thema: Bruchrechnung

Sollen 6 Äpfel unter 3 Personen gleichmäßig aufgeteilt werden, dann rechnet man 6:3 = 2. Das bedeutet jede Person bekommt genau 2 Äpfel.
Hat man aber nur 2 Äpfel und will diese wieder unter drei Personen gleichmäßig aufteilen, dann muss man 2:3 rechnen. Das heißt man bekommt keine ganze Zahl heraus wie bei der vorherigen Rechnung. Um den Personen ihren Anteil an den Äpfeln zu geben, muss man zum Messer greifen und die Äpfel aufteilen. Mathematisch gesehen entsteht ein Bruch, den man in der Mathematik folgendermaßen schreibt: $\frac{2}{3}$
Eine solche Zahl wird Bruch genannt. Der Strich zwischen den beiden Zahlen heißt Bruchstrich und steht für das Teilen der beiden Zahlen durcheinander.
Man spricht diese Zahl jetzt aber nicht "2 geteilt durch 3" aus, sondern sagt 2 Drittel. Entsprechend würde man sagen:

$\frac{2}{1}$: 2 Ganze

$\frac{2}{2}$: 2 Halbe

$\frac{2}{3}$: 2 Drittel

$\frac{2}{4}$: 2 Viertel

$\frac{2}{5}$: 2 Fünftel

usw.

Im Allgemeinen kann man einen Bruch folgendermaßen schreiben: $\frac{Z}{N}$
Z wird Zähler und N wird Nenner genannt. Z gibt die Anzahl der geteilten Ganzen an - im Apfelbeispiel waren es Z=2 ganze Äpfel. N gibt an in wieviele Teile geteilt worden ist - im Apfelbeispiel waren es N=drei Personen, also drei gleiche Teile.
Der Nenner N darf niemals 0 sein!

Typen von Brüchen

Erweitern und Kürzen von Brüchen

Zurück zum Anfangsbeispiel:
1. Teilt man 2 Äpfel gleichmäßig unter 3 Personen auf, so bekommt jeder $\frac{2}{3}$ eines Apfels.
2. Teilt man 4 Äpfel gleichmäßig unter 6 Personen auf, so bekommt jeder $\frac{4}{6}$ eines Apfels.
3. Teilt man 6 Äpfel gleichmäßig unter 9 Personen auf, so bekommt jeder $\frac{6}{9}$ eines Apfels.
Jedes mal bekommt eine Person den gleichen Anteil an den Äpfeln.

Es gilt also: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}$

Erweitern

Warum ist das so?

Im zweiten Schritt wurde die Anzahl der Äpfel, also der Zähler, von 2 auf 4 verdoppelt. Gleichzeitig wurde auch die Anzahl der Personen, also der Nenner von 3 auf 6 verdoppelt. Sowohl der Zähler als auch der Nenner wurden verdoppelt, also mit 2 multipliziert.

$\frac{2}{3}=\frac{2·2}{3·2}=\frac{4}{6}$

Im dritten Schritt wurde gegenüber dem ersten Schritt die Anzahl der Äpfel, also der Zähler, von 2 auf 6 verdreifacht. Gleichzeitig wurde auch die Anzahl der Personen, also der Nenner von 3 auf 9 verdreifacht. Sowohl der Zähler als auch der Nenner wurden verdreifacht, also mit 3 multipliziert.

$\frac{2}{3}=\frac{2·3}{3·3}=\frac{6}{9}$

Im dritten Schritt wurde gegenüber dem zweiten Schritt die Anzahl der Äpfel, also der Zähler, mit 1,5 mulitpliziert. Gleichzeitig wurde auch die Anzahl der Personen, also der Nenner, mit 1,5 multipliziert. Sowohl der Zähler als auch der Nenner wurden so mit 1,5 multipliziert.

$\frac{4}{6}=\frac{4·\mathrm{1,5}}{6·\mathrm{1,5}}=\frac{6}{9}$

Bei jeder dieser Umformungen wurde der ursprüngliche Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Das hat zur Folge, dass jede Person immer den gleichen Anteil an den Äpfeln bekommt, also jedes mal $\frac{2}{3}$. Das liegt daran, dass $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{3}$ und $\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{1,5}}$ aus mathematischer Sicht immer das Gleiche ist, nämlich 1. Jeder der Brüche wurde also mit 1 multipliziert. Und das Multiplizieren mit 1 ändert ja nichts an dem ursprünglichen Wert im Beispiel also an dem Wert $\frac{2}{3}$.

Zusammengefasst lässt sich daraus schließen:
Wenn zwei Brüche so beschaffen sind, dass der Zähler und der Nenner des zweiten Bruches gleiche Vielfache von dem Zähler und dem Nenner des ersten Bruches sind, dann sagt man, dass der zweite Bruch aus dem ersten Bruch durch Erweitern entstanden ist.

Erweitern heißt: Zähler und Nenner eines Bruches werden mit der gleichen Zahl multipliziert.

Allgemein mathematisch ausgedrückt:

$\frac{\mathrm{Z}}{\mathrm{N}}=\frac{\mathrm{Z}·a}{\mathrm{N}·a}$, wobei $a$ eine beliebige Zahl ist.

Kürzen

Kürzen ist einfach das Gegenteil von Erweitern.

Kürzen heißt: Zähler und Nenner eines Bruches werden durch die gleiche Zahl dividiert.

$\frac{\mathrm{Z}}{\mathrm{N}}=\frac{\mathrm{Z}/a}{\mathrm{N}/a}$, wobei $a$ eine beliebige Zahl ist.

Mit dem Aufgreifen der Beispiele zum Erweitern gilt jetzt:

$\frac{4}{6}=\frac{4/2}{6/2}=\frac{2}{3}$

und

$\frac{6}{9}=\frac{6/3}{9/3}=\frac{2}{3}$

und

$\frac{6}{9}=\frac{6/\mathrm{1,5}}{9/\mathrm{1,5}}=\frac{4}{6}$

Bruchrechenarten

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann kannst Du dort nach und nach die verschiedenen Bruchrechenarten wiederholen. Danach wird Dir eine Aufgabe zu der jeweiligen Rechenart gestellt, die Du selbst lösen solltest.
Wundere Dich nicht, dass dort schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass Du feststellen kannst, ob Du richtig gerechnet hast. Wenn Du das richtige Ergebnis heraus hast, klicke auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

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